笔者曾调查过136位小学数学教师：师范毕业后，你是否经常阅读有关小学数学基础理论的文章？你是否复习过中学数学知识？在生活中你是否经常收集数学信息？调查结果表明：只有31%的教师零散地看过一些数学基础理论的文章；除了应付成人高考，没有教师复习过中学数学知识；除了上公开课、评优课，仅有14%的教师有时留意生活中的数学问题。最让人担心的是，调查中竟然有的教师认为：小学数学知识那么简单，教师应把精力花费在教学设计上，没有必要在学科知识上下工夫。这些教师的观点对吗？下面的案例也许会引发我们新的思考。
【案例一】一位教师教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书，然后引导探究偶数和奇数特点。
自然数：
偶数：0、2、4、6、8……
奇数：1、3、5、7、9……
师：仔细观察，你能发现偶数有什么特点？
生：最小的偶数是0，没有最大的偶数，两个相邻的偶数相差2。
生：偶数的个数是无限的，自然数的个数是偶数的2倍。
师：你怎么知道自然数的个数是偶数的2倍。
生：因为自然数是按一个偶数一个奇数，又是一个偶数一个奇数这样的顺序排列的，偶数与奇数的个数一样多，所以说自然数的个数既是偶数的2倍，也是奇数的2倍。
师：你的眼力真厉害，看问题很全面，自然数的个数确实是偶数的2倍。
【思考】偶数集和奇数集都是自然数集的真子集。表面上看好像偶数集和奇数集中元素的个数各占自然数集中元素个数的一半，偶数和奇数的个数都比自然数的个数少，其实这种说法是错的。因为只有在有限集合中两个集合中的元素个数才能比较多少，或者说有限集合中的元素个数一定比这个集合的真子集中元素的个数多，而偶数集、奇数集和自然数集都是无限集合，所以无法比较它们集合中的元素个数的多少。例如自然数与偶数之间可以建立起一一对应关系：0→0、1→2、2→4、3→6……n→2n。由此可见，对于每一个自然数，都有一个偶数与之相对应，怎么能说自然数的个数是偶数的2倍？这正如一条直线可以看成是两条射线，但不能说直线的长度是射线的2倍，或者说直线比射线长。所以我们不能把在有限集合范围内积累起来的经验，盲目应用于无限集合中去。教师如果具备这方面的知识，就不会发生科学性的错误。
【案例二】一位教师教学“除数是小数的除法”时，出示这样一道填空题：0.39 ÷ 0.11 = 3……（ ）。结果有的学生填6，也有的学生填0.06。在评讲时教师边列竖式计算边强调：“根据商不变的规律，把0.39 ÷ 0.11转化成39 ÷ 11，商3，余数6代表百分之一，所以这题余数是0.06。其实根据‘余数 = 被除数 - 商 × 除数’也可以知道余数是0.06，而不是6。”
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